Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории icon

Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории



НазваРоберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории
Сторінка5/13
Ю. А. Шихановича
Дата конвертації16.01.2013
Розмір3.45 Mb.
ТипДокументи
скачать >>>
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
§ 1.10. Отношения порядка

В этом параграфе мы определим несколько видов отношений, прообразом которых служит интуитивное понятие отношения порядка (предшествования — следования), т. е. такого отношения , что в соответст-


[62]


вующем множестве ^ X для некоторых пар его различных элементов х и у имеет место ху, но не ух. В этом случае при помощи отношения можно решить, в каком порядке поставить эти элементы: х, у, а не у, х, так как имеет место ху, но не ух. Из такого рода отношений для множества действительных чисел хорошо известны отношения <, ≤, > и ≥. Аналогичную роль для систем множеств играют отношения и .

Первый тип отношений порядка, который мы сейчас рассмотрим, будет характеризоваться основными свойствами, общими для упомянутых выше отношений ≤ для чисел и для множеств. Предварительно мы введем одно понятие: отношение во множестве ^ X будет называться антисимметричным, если для любых элементов х и у множества A из одновременной истинности ху и ух следует х = у. Частичным упорядочением, или отношением частичного порядка, во множестве X мы будем называть рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение в X. Поскольку можно пожелать рассматривать частичное упорядочение в X относительно некоторого другого, отличного от X множества (например, обычное упорядочение в Z относительно множества четных чисел), удобно ввести еще одно определение: отношение частично упорядочивает множество Y, если (YY) есть частичное упорядочение в Y. Отношение (YY) есть «сужение» отношения на множество Y в том смысле, что оно исключает из рассмотрения те упорядоченные пары, у которых хотя бы одна из координат не есть элемент множества Y.


Примеры.


1. Отношение «является целым кратным» в Z+ есть частичное упорядочение.

2. Иерархия или схема организации в торговой фирме определяется частичным упорядочением в некотором множестве должностей.

3. Если есть частичное упорядочение в X, то (АА) частично упорядочивает подмножество А множество X.

4. Для любого отношения обратным к нему называется такое отношение , что ух равносильно ху. Если есть частичное упорядочение, то также есть частичное упорядочение.

5. Любое рефлексивное и транзитивное отношение называется предупорядочением. Такого рода отношение может обладать тем неудобством, что при попытке упорядочить с его помощью какое-либо множество это отношение не позволяет «различать» некоторые пары различных объектов х, у — в том смысле, что будет иметь место как ху, так и ух. Например, пусть для некоторого множества людей w будет функцией веса.


[63]


а ^ А — функцией роста, т.е. w(x) и h(x) будут, соответственно, означать вес и рост некоторого индивида х. В таком случае отношение такое, что ху равносильно w(х) ≤ w (y) и h(x) ≥ h(у), будет предупорядочением, но не частичным упорядочением, если найдутся два индивида, имеющие одинаковый вес и одинаковый рост.

Если есть предупорядочение множества ^ X, то это отношение определяет частичное упорядочение, в некотором разбнении множества X (согласно упражнению 10 из § 1.7). Во-первых, утверждается, что отношение ~, для которого х ~ у равносильно по определению ху и ух, является отношением эквивалентности. Во-вторых, устанавливается, что отношение ', для которого [x] ' [y], если ху, является частичным упорядочением, областью определения которого служит соответствующее множество классов эквивалентности [x]. Окончательно можно сказать, что если есть предупорядочение в некотором множестве ^ X, то оно является частичным упорядочением в множестве, получающемся из X в результате идентификации элементов, не различимых с помощью отношения .

Сказанное хорошо иллюстрируется следующим примером: в качестве о берется отношение во множестве комплексных чисел такое, что zw, если действительная часть числа z меньше или равна действительной части числа w.

Следуя традиции, мы будем обозначать частичные упорядочения символом ≤. Если отношение ≤ частично упорядочивает множество X, а х и у суть элементы множества X, то соотношение х ≤ у может иметь или не иметь места. Аналогично, если х ≤ у и х ≠ у, мы будем писать просто х < у и говорить, что х меньше, чем у, или х предшествует у, или у больше, чем х. Мы будем также использовать, если это нам почему-либо окажется удобным, записи у ≥ х и у > х в качестве альтернативы для х ≤ у и х < у соответственно.

Отношение во множестве ^ X является, по определению, иррефлексивным, если ни для какого х из X не имеет места хх. Если ≤ — частичное упорядочение в X, то < — иррефлексивно и транзитивно в X. Обратно, исходя из иррефлексивного и транзитивного отношения < в X и полагая х ≤ у, по определению, равносильным х < у или х = у, мы приходим к частичному упорядочению ≤ в X. Доказательства этих фактов мы предоставляем читателю. Получение < из ≤, и наоборот, может быть проиллюстрировано на примере определения строгого включения множеств в терминах включения и наоборот. Если ≤ частично упорядочивает конечное множество X, то отношение < можно описать посредством следующего понятия. Элемент у множества X, по определе-


[64]


нию, покрывает элемент х, если х<у и не существует такого и, что х<и<у. Если х<у, то, очевидно, можно найти такие элементы множества Х: х1, х2, .., хп, что х = х12<...<хn = у, причем каждое хi+1 покрывает xi. Обратно, из существования такой цепочки следует x < y.

Отношение есть простое (или линейное) упорядочение, если оно является частичным упорядочением и, каковы бы ни были различные элементы х и у области определения (совпадающей с областью значений) отношения , непременно имеет место либо ху, либо ух. Отношение просто упорядочивает множество Y, если (XY) есть простое упорядочение в Y. Обычное упорядочение действительных чисел по величине есть типичный пример простого упорядочения. В противоположность этому включение множеств не является, вообще говоря, простым упорядочением.

Нечего и говорить, что отношения порядка применяются для установления порядка в различных множествах. На практике отношение порядка для какого-либо данного множества X задается обычно постулированием или доказательством некоторых структурных характеристик множества X. Иными словами, определенные особенности строения множества X, например существование операции или отображения какого-либо специального типа, позволяют определить для X отношение порядка; пример такого рода будет приведен в упражнениях к этому параграфу. Свойства такого отношения порядка могут оказаться полезными для выяснения и описания дальнейших характеристик множества X. Поэтому удобно располагать специальной терминологией, приспособленной в первую очередь именно к множествам, а не к отношениям порядка в них. Частично упорядоченное множество есть упорядоченная пара , где отношение ≤ частично упорядочивает множество Х. Просто упорядоченное множество, или цепь, — это упорядоченная пара , где ≤ просто упорядочивает множество X. Например, если F есть некоторая система множеств, то F есть частично упорядоченное множество. Если, далее, ≤ есть обычное упорядочение целых чисел, то есть цепь. С точки зрения теории множеств более экономно рассматривать отношения порядка, а не упорядоченные множества (т. е. множества вместе с упорядочивающими их отношениями). Если, скажем, есть какое-то частично упорядоченное множество, то ≤ (ХХ) есть частичное упорядочение в X. Поэтому вместо того, чтобы рассматривать X и отношение ≤, частично упорядочивающее X, нам достаточно рассматривать лишь само отношение порядка ≤ (ХХ), поскольку оно полностью определяет X как область своего определения. Иначе говоря, для любого предложения об упорядоченных множествах можно


[65]


указать эквивалентное ему предложение об отношениях порядка и обратно.

В качестве иллюстрации предыдущего замечания мы переформулируем данное нами ранее описание отношения < для конечного множества X, частично упорядоченного отношением ≤. Пусть есть конечное частично упорядоченное множество; тогда x равносильно тому, что существует цепь вида х = х12< ... <хп = у, в которой каждое хi + 1 покрывает хi. Это обстоятельство позволяет представить любое конечное частично упорядоченное множество в виде наглядной схемы. Элементы изображаемого множества X изображаются при этом точками, расположенными на схеме в соответствии со следующим правилом. Точка, изображающая у, располагается выше точки, изображающей х, в том и только в том случае, когда х < у, причем, если у покрывает х, то х и у соединяются прямолинейным отрезком. Таким образом, х < у равносильно тому, что на диаграмме имеется ломаная линия, восходящая от х к у. Вот несколько схем такого рода.





схема 1.


На первой схеме представлена цепь, состоящая из пяти элементов. Ясно, что схема любой цепи имеет такой вид. На последней схеме изображено множество - степень трехэлементного множества, частично упорядоченное посредством отношения включения; точка, расположенная на самом низком уровне, изображает пустое подмножество, точки, расположенные на следующем (втором снизу) уровне, — одноэлементные подмножества и т. д. Такие схемы используются не только для того, чтобы изображать уже заданные каким-либо образом частично упорядоченные множества, представляя в наглядном виде упорядочивающие их отношения; их можно использовать и для задания частично упорядоченных множеств — отношение порядка в этом случае, по определению, есть отношение, связывающее элементы, изображаемые точками, соединенными восходящими ломаными.

Перед тем как ввести еще одно определение, относящееся к понятию частично упорядоченного множества, нам будет полезно обсудить предварительно один пример. Множество {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, элементы


[66]


которого суть делители числа 30, частично упорядочено отношением ≤, где, по определению, x ≤ y, если у кратно х. Предлагаем читателю в качестве упражнения показать, что схема этого частично упорядоченного множества совпадает с последней из приведенных выше схем, изображающей множество-степень трехэлементного множества, частично упорядоченное отношением включения. Сами эти множества (множество - степень трехэлементного множества и множество делителей числа 30), разумеется, различны, но рассматриваемые с точки зрения их структуры — именно как частично упорядоченные множества — они неразличимы. Именно поэтому-то их схемы и совпадают. Этот тип отношений между двумя частично упорядоченными множествами заслуживает особого внимания, поскольку любому свойству каждого из таких множеств, формулируемому исключительно в терминах упорядочивающего его отношения, соответствует совершенно аналогичное свойство другого множества. Поэтому мы хотим выразить такого рода «неразличимость» в точных формальных терминах. Тождество изображающих такого рода множества схем означает, прежде всего, наличие некоторого соответствия, связывающего попарно элементы этих множеств. Это обстоятельство может быть описано как существование взаимно - однозначного соответствия, что, кстати, удобно еще и тем, что мы не обязаны ограничиваться рассмотрением лишь конечных множеств. Интересующее нас соответствие между множествами проявляется, далее, и в том, что любое соотношение между какой-либо парой элементов одного из множеств, полностью определяемое его упорядочением, сохраняется и для соответствующей (в смысле упомянутого взаимно-однозначного соответствия) пары элементов другого множества (относительно аналогичного соотношения между членами этой пары, определяемого упорядочением этого второго множества). Точная формулировка рассматриваемого отношения между множествами фиксируется следующим определением. Функция f: X→Х' называется сохраняющей порядок (или изотопной) относительно упорядочения ≤ множества X и упорядочения ≤' множества X', если х ≤ у влечет f (x) ≤' f (у). Теперь обсуждаемое нами подобие множеств можно описать как существование такого взаимно - однозначного соответствия, что оно само и обратное к нему сохраняют порядок. В этой связи принято пользоваться следующей терминологией. Изоморфизм между частично упорядоченными множествами и есть взаимно - однозначное соответствие между X и X' такое, что как оно, так и обратное к нему сохраняют порядок23. Если такое соответствие существует, то одно из этих частично упорядоченных множеств называют изоморфным образом другого, или


[67]


говорят просто, что эти частично упорядоченные множества изоморфны. Таким образом, отношение «подобия», которое, как мы видели, имеет место между множеством всех подмножеств трехэлементного множества и множеством всех делителей числа 30, рассматриваемыми вместе с частичными упорядочениями этих множеств, можно описать, сказав, что эти множества суть изоморфные частично упорядоченные множества.

Когда выше мы определили понятие частично упорядоченного множества, было отмечено, что типичным примером этого понятия является система множеств, частично упорядоченная включением. Конечно, это было сказано довольно-таки приблизительно — ведь смысл слова «типичный» имеет так много разных оттенков. Одно из возможных уточнений может быть дано в виде следующего важного утверждения: каждое частично упорядоченное множество изоморфно некоторой системе множеств, частично упорядоченной включением.


[68]


В заключение этого параграфа мы введем еще несколько определений, относящихся к частично упорядоченным множествам, которые нам впоследствии понадобятся. Наименьшим элементом множества X относительно частичного упорядочения ≤ мы будем называть такой элемент у множества X, что для всех х из X верно y ≤ х: Если такой элемент существует, то он единствен; поэтому, говоря о наименьшем элементе какого-либо множества, имеют в виду вполне определенный его элемент. Минимальным элементом множества X относительно частичного упорядочения ≤ называют такой, его элемент у, что ни для одного X^ X не имеет места x < y. Минимальный элемент может быть и не единственным, как это видно, например, из второй из приведенных выше (стр. 65) схем частично упорядоченных множеств. Наибольшим элементом множества X относительно ≤ называют такой уХ, что для любого хX х ≤ у. Наибольший элемент, если таковой существует, единствен, так что и в этом случае можно говорить о вполне определенном наибольшем элементе. Максимальным элементом множества X относительно ≤ называют такой уХ, что ни для какого хХ не верно х > у.

Частично упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое непустое подмножество множества X имеет наименьший элемент. Хорошо знакомым всем примером вполне упорядоченного множества является множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченное естественным образом. Каждое вполне упорядоченное множество является цепью, так как для любых двух различных элементов х, у множества X множество {х, у} должно иметь наименьший элемент; следовательно, имеет место либо х < у, либо y <х.

Если есть частично упорядоченное множество и AX, то элемент хX называется верхней границей множества А, если для любого аА имеет место а ≤ х. Аналогично, элемент хХ называется нижней границей множества А, если для любого аA x ≤ а. Множество может иметь много верхних границ. Элемент хХ называется наименьшей верхней границей, или супремумом, множества А (в символах: sup A), если х есть верхняя граница множества А и для всех верхних границ у множества А имеет место х ≤ у. Иными словами, наименьшая верхняя граница есть верхняя граница, являющаяся нижней границей множества всех верхних границ. Элемент х^ Х называется наибольшей нижней границей, или инфимумом, множества А (в символах: inf А), если х есть нижняя граница множества А и для любой нижней границы у множества А верно х ≥ у. Легко видеть, что если множество А имеет наименьшую верхнюю границу, то она единственна; аналогично — для наибольшей нижней границы.


[69]


Упражнения


1. Доказать, что если есть отношение частичного порядка, то обратное отношение также является отношением частичного порядка.

2. На множестве всех непрерывных функций, определенных на множестве неотрицательных действительных чисел и принимающих действительные значения, f = O(g), по определению, означает: существуют такие положительные константы М и N, что для всех x > N f (x) ≤ Mg(x). Показать, что определенное таким образом отношение является предупорядочением и определить соответствующее отношение эквивалентности.

3. Пусть ≤ есть частичное упорядочение множества ^ X; доказать: < иррефлексивно и транзитивно в X. Пусть, обратно, < — отношение, иррефлексивное и транзитивное в X; доказать: отношение ≤ такое, что х ≤ у равносильно х < у или х = y, есть частичное упорядочение в X.

4. Для каких множеств А P (A), является линейно упорядоченным множеством?

5. Пусть и — частично упорядоченные множества. Показать, что множество ХХ' частично упорядочено отношением , где , по определению, равносильно х ≤ у и х' ' у'. Частично упорядоченное множество называют (прямым) произведением данных частично упорядоченных множеств.

6. Двойственным к частично упорядоченному множеству называют частично упорядоченное множество (см. упражнение 1). Пусть — частично упорядоченное множество, а, bХ и а ≤ b; множество всех таких хХ, что а ≤ х ≤ b, называют отрезком (замкнутым интервалом) [а, b]. Показать, что множество отрезков частично упорядоченного множества , частично упорядоченное включением, изоморфно некоторому подмножеству произведения частично упорядоченного множества и двойственного к нему.


[71]


1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13



Схожі:

Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconСэм Столл 100 собак, которые изменили цивилизацию: Самые знаменитые в истории собаки
«Сэм Столл. 100 собак, которые изменили цивилизацию: Самые знаменитые в истории собаки»: Астрель-Аст; Москва; 2009
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconПроект володимира кулеба роберт (Боббі) Чарльтон «сер»
Його гарматні удари з лівої ноги приводили в трепет воротарів усього світу. Його працездатність і невтомність вражали. Його бездоганна...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconИнформационное письмо
Целью конференции является рассмотрение на конкретном материале теоретических оснований, методов и приемов наименее разработанного...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconЧех Л. А., и о. зам директора научной библиотеки
Среди множества корпоративных проектов, организуемых в современном библиотечно-информационном сообществе, выделяется динамичностью...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconБухгалтерский учет в Украине: от теории к практике
Редакция издания «Баланс» просит Вас принять участие в анкетировании, с целью определения читательских потребностей и ожиданий, повышения...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconУдк 811. 161. 2’25: 811. 161. 1 Ббк 81. 2 Рецензенты
Гусева Е. И. Динамика термина: Заимствование. Обновление метаязыка. Развитие лингвистической теории. – Мариуполь, Ультрамарин, 2012....
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconИордания и Израиль две страны, словно затейливая мозаика, искустно собранная из множества ярких и неповторимых кусочков. Находясь на перекрестке христианства, ислама и иудаизма, эти страны из века в век бережно хранят на своей земле святые места трех великих религий.
Иордания и Израиль две страны, словно затейливая мозаика, искустно собранная из множества ярких и неповторимых кусочков. Находясь...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconIii международная научно-практическая конференция "Приоритетные научные направления: от теории к практике" (нн-3)
Приглашаем Вас принять участие в студенческой международной научно-практической конференции студентов, магистрантов, аспирантов и...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconДетский лагерь "Спартак"
Старинная часть города архитектурный заповедник. Ее часто называют 'Харманит' из-за множества мельниц 'харманов', которы находились...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconЧто же такое аудио-визуальная стимуляция?
«сегментов пазлов» ложится в тему, как и почему работают приборы аудио-визуальной стимуляции. Следующие теории появились благодаря...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©sm.znaimo.com.ua 2000-2015
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи

Разработка сайта — Веб студия Адаманов