Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории icon

Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории



НазваРоберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории
Сторінка6/13
Ю. А. Шихановича
Дата конвертації16.01.2013
Розмір3.45 Mb.
ТипДокументи
скачать >>>
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
Глава II. Логика


В том виде, в каком мы будем изучать математическую, или символическую, логику, она имеет два аспекта. С одной стороны, — это логика—аналитическая теория искусства рассуждения, целью которой является систематизация и кодификация принципов правильного рассуждения. Она возникла из изучения использования языка в споре для убеждения слушателя и основывается на выделении и исследовании тех сторон языка, которые существенны для этих целей. Она формальна в том смысле, что не делает ссылок на значение. Посредством этого она достигает многосторонности: она может быть использована для суждения о корректности цепи рассуждений (в частности, «математического доказательства») исключительно на основании формы (а не содержания) последовательности утверждений, образующих эту цепь. Существует много символических логик. Мы будем заниматься лишь логикой, охватывающей большинство выводов того рода, какие встречаются в математике. В пределах самой логики — это «классическая» символическая логика.

Другой аспект символической логики переплетается с проблемами, связанными с основаниями математики. Вкратце он состоит в формулировании математической теории как логической системы, расширенной дополнительными аксиомами. Идея рассмотрения математической теории как «прикладной» системы логики принадлежит немецкому математику Г. Фреге (1848—1925), который разработал систему логики для применения в своем труде об основаниях арифметики. Уайтхед и Рассел в «Principia mathematica» (1910—1913) продолжили работу Фреге и пока-


[72]


зали, что математика может быть «сведена к логике». В следующей главе, рассматривающей аксиоматические теории, будут даны некоторые указания об этом подходе к математическим теориям.


^ 2.1. Исчисление высказываний. Сентенциональные связки


В математических и других рассуждениях постоянно встречаются повествовательные предложения, образованные путем видоизменения некоторого предложения с помощью слова не или путем связывания предложений с помощью слов и, или, если..., то (или влечет), тогда и только тогда, когда. Эти пять слов или комбинаций слов называются сентенциональными связками. В первую очередь мы проанализируем структуру сложных предложений (т. е. таких повествовательных предложений, в которых содержится одна или более чем одна связка), составленных, из простых предложений (т. е. таких, каждое из которых или не содержит связку, или рассматривается как «неразложимое»). Рассмотрим сначала каждую связку отдельно.

Предложение, видоизмененное словом «не», называется отрицанием первоначального предложения. Например, «2 не есть простое число» — это отрицание предложения «2 есть простое число», а предложение «Неверно, что 2 есть простое число и 6 есть составное число» — отрицание предложения «2 есть простое число и 6 есть составное число». Грамматика заставляет нас применить выражение «неверно, что» вместо простого слова «не», потому что последнее предложение — сложное.

Слово «и» употребляется, чтобы соединить два предложения в сложное, которое называется конъюнкцией этих двух предложений. Например, предложение «Солнце светит и на дворе холодно» представляет собой конъюнкцию предложений «Солнце светит» и «На дворе холодно». В обыденной речи в качестве синонимов вместо «и» пользуются различными другими словами, вроде «а». Однако мы не будем обращать внимания на возможные различия в оттенках смысла, связанные с применением одного синонима вместо другого.

Предложение, образованное соединением двух предложений словом «или», называется дизъюнкцией этих предложений. Мы будем всегда предполагать, что «или» употребляется не в разделительном смысле (либо — либо), а в том значении, как в официальных английских документах, где это часто выражается варваризмом «и/или». Напомним, что мы интерпретировали «или» таким же образом в определении объединения двух множеств.

Из двух предложений можно построить одно вида «если ..., то...», которое называется импликацией (или условным предложением). Предло-


[73]


жение, непосредственно следующее за «если», есть антецедент, а предложение, непосредственно следующее за «то», есть консеквент. Например: Если 2 > 3, то 3 > 4» —условное предложение, в котором «2 > 3» — антецедент и «3 > 4»-консеквент. Ниже приведено несколько выражении, которые мы будем считать имеющими тот же смысл, что и «если Р, то Q» (где Р и Q — предложения):


Р влечет Q;

Р только тогда, когда Q;

Р есть достаточное условие для Q;

Q при условии, что Р;

Q, если Р;

Q есть необходимое условие для Р.


Слова «тогда и только тогда, когда» употребляются, чтобы из двух предложений получить эквиваленцию (или биусловное предложение). Мы рассматриваем эквиваленцию


^ Р тогда и только тогда, когда Q


как имеющую то же значение, что и


если Р, то Q, и, если Q, то Р;

Q есть необходимое и достаточное условие для Р.


Введением букв P,Q,... для замены простых предложений, специальных символов для каждой связки и круглых скобок там, где это может понадобиться для пунктуации, мы можем показать эффективным образом связную структуру сложного предложения.

Выберем следующие символы для связок:


~ для «не»

для «и»

для «или»

→ для «если .... то...»

для «тогда и только тогда, когда»


Так, если Р и Q - предложения, то


~ Р, PQ, PQ, РQ, PQ


будут, соответственно, отрицанием предложения Р, конъюнкцией предложений Р и Q и т. д.


[74]


Приведем конкретные примеры анализа связной структуры сложных предложений, составленных из простых предложений.


Примеры


  1. Предложение



«2 есть простое число и 6 есть составное число»

может быть символически записано, как


PC,


где P - «2 есть простое число» и С – «6 есть составное число»


2. Предложение

«Если Пираты или Щенки проиграют и Великаны выиграют, то Увертыши потеряют первое место и, кроме того, я проиграю пари» — импликация, поэтому оно может быть символически записано в виде


^ А→С.


Антецедент составлен из трех простых предложений: Р (Пираты проиграют), С (Щенки проиграют) и G (Великаны выиграют), а консеквент есть конъюнкция предложений D (Увертыши потеряют первое место) и В (я проиграю пари). Первоначальное предложение может быть символически записано при помощи введенных обозначений для простых предложений как


.


3. Предложение

«Если рабочие или администрация упорствуют, то забастовка будет урегулирована тогда и только тогда, когда правительство добьется судебного запрещения, но войска не будут посланы на завод» является импликацией. Антецедент есть дизъюнкция предложений L (рабочие упорствуют) и М (администрация упорствует). Консеквент есть эквиваленция, левая часть которой есть S (забастовка будет урегулирована), а правая часть есть конъюнкция предложения G (правительство добьется судебного запрещения) и отрицания предложения R (войска будут посланы на завод). Итак, первоначальное предложение может быть символически записано так:


.


Чтобы устранить чрезмерное количество круглых скобок при записи сложных предложений в символической форме, мы вводим некоторые


[75]


соглашения (как в алгебре). Условимся, что есть сильнейшая связка (это значит, что она имеет наибольшую область действия), а за ней следует . Далее следуют и , которым приписывают равную силу, И затем ~, слабейшая связка. Например,


означает ;

» ;

» ;

» ;

теперь третий из вышеописанных примеров может быть записан следующим образом:





Упражнения


1. Запишите символически следующие сложные предложения, употребляя буквы для обозначения простых компонентов предложения (под простыми компонентами мы подразумеваем предложения, не содержащие связок):

(a) Идет дождь или кто-то не выключил душ.

(b) Если вечером будет туман, то Джон или останется дома или должен будет взять такси.

(c) Джон сядет, и он или Джордж будут ждать,

(d) Джон сядет и будет ждать или Джордж будет ждать.

(e) Я поеду или на автобусе или на такси.

(f) Ни Север, ни Юг не победили в гражданской войне.

(g) Хлеба уцелеют тогда и только тогда, когда будут вырыты ирригационные канавы; если хлеба не уцелеют, то фермеры обанкротятся и оставят фермы.

(h) Если я устал или голоден, я не могу заниматься,

(i) Если Джон встанет и пойдет в школу, он будет доволен, а если он не встанет, он не будет доволен.

2. Пусть ^ С будет «сегодня ясно», R«сегодня идет дождь», S — «сегодня идет снег» и Y — «вчера было пасмурно». Переведите "на обычный язык следующие предложения:


(a) ; (d) ;

(b) ; (e) ;

(c) ; (f) .


[76]


    1. Исчисление высказываний. Истинностные таблицы



Выше мы условились, что под высказыванием мы понимаем повествовательное предложение, которое имеет то свойство, что оно может быть классифицировано либо как истинное, либо как ложное, но не как то и другое вместе. «Истинность» или «ложность» предложения, которую мы приписываем высказыванию, и есть истинностное значение высказывания. Мы будем часто кратко обозначать «истинность» через Т и «ложность» через F. Если Р и Q — высказывания и связки употребляются в их обычном смысле, то каждое из предложений


~ Р, PQ, PQ, РQ, PQ


есть высказывание. Рассмотрим вопрос подробнее.

Исходя из обычного значения слова «не», если высказывание истинно, то его отрицание ложно, и наоборот. Например, если ^ S есть истинное высказывание (имеет истинностное значение Т) «Луна — спутник Земли», то ~ S ложно (имеет истинностное значение F).

По определению конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба составляющих высказывания истинны. Например, «3 — простое число и 2 + 2 =5» —ложное высказывание, потому что «2 + 2 = 5» — ложное высказывание.

При условии, что связка «или» понимается в неразделительном смысле, обычное употребление квалифицирует дизъюнкцию как ложную тогда и только тогда, когда оба составляющих высказывания ложны. Приписывание истинных значений, которым мы занимаемся, может быть сведено в краткие истинностные таблицы, при помощи которых можно приписывать истинностное значение любому высказыванию для всех возможных случаев приписывания истинностных значений составляющим его высказываниям.

Ниже следуют истинностные таблицы для тех типов сложных высказываний, которые мы уже рассмотрели, а также для импликации и эквиваленции.





таб.1


[77]


Обоснование истинностных значений, приписываемых импликации, состоит в том, что по интуитивному пониманию ^ P→Q истинно тогда и только тогда, когда Q следует каким-либо образом из Р, Так, если Р истинно и Q ложно, то мы хотим, чтобы P→Q тоже было ложно; этим объясняется вторая строка таблицы. Далее, предположим, что Q истинно. Тогда естественно считать, что P→Q истинно, независимо от Р и его истинностного значения. Это рассуждение объясняет истинностные значения в первой и третьей строках таблицы. Чтобы обосновать четвертую строку таблицы, рассмотрим высказывание . Мы полагаем, что эта импликация будет истинна независимо от выбора Р и Q. Но, если Р и Q оба ложны, тогда РQ ложно; таким образом, мы вынуждены считать, что если и антецедент и консеквент ложны, то импликация истинна.

Таблица для эквиваленции определяется из таблиц для конъюнкции и импликации, исходя из того, что значит то же самое, что и

Эти пять таблиц должны пониматься как определения; это обычные определения, принятые в математике. Мы лишь попытались как-то согласовать их с естественным пониманием сентенциональных связок. Из этих определений непосредственно следует, что если Р и Q — высказывания, то ~ Р, PQ, PQ, РQ, PQ — тоже высказывания. Отсюда непосредственно вытекает, что каждое сложное предложение, чьи простые компоненты — высказывания, само есть высказывание.

Если истинностные значения простых компонентов известны, то истинностное значение сложного высказывания может быть определено механически.


Примеры


1. Предположим, что сложное высказывание символически записано

так:





и что истинностные значения Р, Q, R и S будут Т, F, F и Т соответственно. Тогда значение есть Т, значение ~ S есть F, значение есть Т и, следовательно, значение первоначального высказывания есть Т, так как эта импликация имеет истинный антецедент и истинный консеквент. Такого рода вычисление можно сделать быстро, если написать под каждым простым высказыванием его истинностное значение, а истинностное значение каждого сложного высказывания — под соответствующей связкой. Итак, для приведенного выше сложного выска-


[78]


зывания мы можем написать следующее (здесь в учебных целях последовательные шаги помещены на отдельных строчках, один под другим).




T F F T

T F

T

T


2. Рассмотрим следующее рассуждение.

«Если цены высоки, то и заработная плата высока. Цены высоки или применяется регулирование цен. Далее, если применяется регулирование цен, то нет инфляции. Наблюдается инфляция. Следовательно, заработная плата высока».

Предположим, что мы согласны с каждым из первых четырех высказываний (посылок). Должны ли мы согласиться с пятым высказыванием (заключением)? Чтобы ответить на этот вопрос, запишем сначала рассуждение символически, употребляя буквы Р, W, С и J вместо соответствующих высказываний. Так, Р есть предложение «Цены высоки». Тогда мы можем представить рассуждение следующим образом:











Предположение, что мы согласны с посылками, равносильно приписыванию значения Т всем высказываниям над чертой. Тогда поставленный вопрос может быть сформулирован так: если посылки имеют истинностное значение Т, имеет ли заключение значение Т? Ответ будет утвердительным. Действительно, если J и имеют значение Т, то значение С есть F согласно истинностной таблице для импликации. Следовательно, Р имеет значение Т (поскольку имеет значение Т) и, следовательно, W имеет значение Т (поскольку имеет значение Т).

3. Рассмотрим конъюнкцию





двух высказываний, приведенных в предыдущем примере. Вообще говоря, истинностное значение, которое получит такое высказывание, за-


[79]


висит от значений, приписанных составляющим его простым высказываниям. Естественно предположить, что в период неустойчивых экономических отношений истинностное значение, приписываемое одному или нескольким из высказываний Р, С и J, будет меняться, переходя из Т в F или наоборот. Так, может возникнуть вопрос о комбинациях истинностных значений Р, С и J, для которых имеет значение Т или значение F. На это можно будет ответить при помощи таблицы, в которой приведено истинностное значение сложного высказывания для каждого возможного распределения (23) истинностных значений высказываний Р, С и J. Она называется истинностной таблицей для данного высказывания и приведена ниже. Каждая строчка включает в себя какое-либо из распределений истинностных значений высказываний Р, С и J вместе с соответствующим значением высказывания . Последнее может быть вычислено так же, как и в приведенном выше первом примере.





таб.2


Однако при заполнении таблицы читатель, конечно, в самом процессе работы нащупает кратчайшие пути.

4. Если Р — «2 есть простое число» и L — «Логика — занятное дело», то никто не мешает нам построить сложные высказывания такого рода, как





Поскольку Р и L имеют истинностные значения (ясно, что оба есть Т), эти сложные высказывания тоже имеют истинностные значения, которые мы можем указать. Первая наша реакция на такой вздор — «нужно за-


[80]


претить такие построения», так как де образование конъюнкций, импликаций и т. д. следует допускать только в том случае, когда составляющие их высказывания связаны по своему содержанию или предмету. Однако не требуется долгих размышлений, чтобы понять, с какими трудностями связано определение столь неясных понятий. Гораздо проще пойти легким путем, т." е. допустить образование сложных высказываний из любых простых. С точки зрения смысла это иногда приводит к высказываниям, представляющим собой вздор, но вреда от этого не будет. Мы ведь заняты формулированием принципов правильного рассуждения. В приложении к систематическому рассуждению сложные высказывания, сводящиеся к нечленораздельной болтовне, просто не встречаются.


Упражнения


1. Предположим, что высказываниям Р, Q, R и S соответственно приписаны значения Т, F, F и Т. Найти истинностные значения каждого из следующих высказываний:


(a) (f)

(b) (g)

(c) (h)

(d) (i)

(e) (j)


2. Составить истинностную таблицу для каждого из следующих высказываний:


(a) (d)

(b) (e)

(c) (f)


3. Пусть значение высказывания P→Q есть Т. Что можно сказать о значении высказывания ?

4. а) Пусть значение высказывания есть Т; что можно сказать о значениях высказываний и ?

b) Пусть значение высказывания есть F; что можно сказать о значениях высказываний и ?

5. Для каждого из помещенных ниже высказываний определить, достаточно ли приведенных сведений, чтобы установить истинностное значение высказывания. Если достаточно, то указать это значение. Если


[81]


недостаточно, то показать, что возможны и одно, и другое истинностные значения.


(a) (d)

T T


(b) (e)

T T


(c) (f)

T T F


6. В третьем примере параграфа 2.1 мы записали символически высказывание

«Если рабочие или администрация упорствуют, то забастовка будет урегулирована тогда и только тогда, когда правительство добьется судебного запрещения, но войска не будут посланы на завод» в следующем виде:





Путем рассмотрения истинностных значений определить, истинно или ложно это высказывание при каждом из следующих предположений:

a) Рабочие упорствуют, а администрация нет, забастовка будет урегулирована, правительство добилось судебного запрещения и войска посылаются на завод.

b) И рабочие, и администрация упорствуют, забастовка не будет урегулирована, правительству не удалось добиться судебного запрещения, и войска посылаются на завод.

7. В связи с высказыванием в предыдущем примере примем следующее: «Если правительство добьется судебного запрещения, то на завод будут посланы войска. Если на завод будут посланы войска, то забастовка не будет урегулирована. Забастовка будет урегулирована. Администрация упорствует».

Определить, истинно ли высказывание из упражнения 6.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13



Схожі:

Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconСэм Столл 100 собак, которые изменили цивилизацию: Самые знаменитые в истории собаки
«Сэм Столл. 100 собак, которые изменили цивилизацию: Самые знаменитые в истории собаки»: Астрель-Аст; Москва; 2009
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconПроект володимира кулеба роберт (Боббі) Чарльтон «сер»
Його гарматні удари з лівої ноги приводили в трепет воротарів усього світу. Його працездатність і невтомність вражали. Його бездоганна...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconИнформационное письмо
Целью конференции является рассмотрение на конкретном материале теоретических оснований, методов и приемов наименее разработанного...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconЧех Л. А., и о. зам директора научной библиотеки
Среди множества корпоративных проектов, организуемых в современном библиотечно-информационном сообществе, выделяется динамичностью...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconБухгалтерский учет в Украине: от теории к практике
Редакция издания «Баланс» просит Вас принять участие в анкетировании, с целью определения читательских потребностей и ожиданий, повышения...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconУдк 811. 161. 2’25: 811. 161. 1 Ббк 81. 2 Рецензенты
Гусева Е. И. Динамика термина: Заимствование. Обновление метаязыка. Развитие лингвистической теории. – Мариуполь, Ультрамарин, 2012....
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconИордания и Израиль две страны, словно затейливая мозаика, искустно собранная из множества ярких и неповторимых кусочков. Находясь на перекрестке христианства, ислама и иудаизма, эти страны из века в век бережно хранят на своей земле святые места трех великих религий.
Иордания и Израиль две страны, словно затейливая мозаика, искустно собранная из множества ярких и неповторимых кусочков. Находясь...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconIii международная научно-практическая конференция "Приоритетные научные направления: от теории к практике" (нн-3)
Приглашаем Вас принять участие в студенческой международной научно-практической конференции студентов, магистрантов, аспирантов и...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconДетский лагерь "Спартак"
Старинная часть города архитектурный заповедник. Ее часто называют 'Харманит' из-за множества мельниц 'харманов', которы находились...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconЧто же такое аудио-визуальная стимуляция?
«сегментов пазлов» ложится в тему, как и почему работают приборы аудио-визуальной стимуляции. Следующие теории появились благодаря...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©sm.znaimo.com.ua 2000-2015
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи

Разработка сайта — Веб студия Адаманов